Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是①②③寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②若x₀∈R，使ax₀，bx₀，cx₀不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0；
④若△ABC為直角三角形，對(duì)于n∈N*，f（2n）＞0恒成立．

Answer 1

分析 ①依題意，可得0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，故當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b+c}{c}$＞0，可判斷①正確；
②令a=2，b=3，c=4，則a，b，c可以構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，可判斷②正確；
③由c＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC為鈍角三角形，可知a²+b²-c²＜0，故f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，利用零點(diǎn)存在定理可判斷③正確；
④若△ABC為直角三角形，則c²=a²+b²，對(duì)于n∈N*，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，可判斷④不正確．

解答 解：①因?yàn)閍，b，c是三角形的三條邊長(zhǎng)，所以a+b＞c，又因?yàn)閏＞a＞0，c＞b＞0，所以0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，所以當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，故①正確；
②令a=2，b=3，c=4，則a，b，c可以構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，故②正確；
③因?yàn)閏＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC為鈍角三角形，所以a²+b²-c²＜0，于是f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，即?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0，故③正確；
④若△ABC為直角三角形，由題意得，c²=a²+b²，對(duì)于n∈N*，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，故④不正確．
綜上，正確結(jié)論的序號(hào)為①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查在條件c＞a＞0，c＞b＞0下，函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)用能力，屬于難題．