Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（2m+1）x²-6m（m-1）x+1，x∈R．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)y=f （x） 在[-1，5]上的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）設(shè)f′（x） 是函數(shù)y=f （x） 的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)y=f′（x） 的圖象在（-1，5）上與x軸有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可求得最值；
（2）將題中條件：“函數(shù)f′（x）的圖象與x軸在（-1，5）上只有一個(gè)公共點(diǎn)，”等價(jià)于“函數(shù)y=f′（x）的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是二次方程x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的實(shí)數(shù)根”，利用二次函數(shù)根的分布即可求得結(jié)果．
解答：解（1）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=x³+x²-12x+1，
∴f′（x）=2x²+2x-12=2（x+3）（x-2）的兩個(gè)根為x=-3或x=2，
只有x=2在[-1，5]上，所以f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞減，在[2，5]上單調(diào)遞增．
又f（-1）=，f（2）=-，f（5）=．（4分）

故函數(shù)y=f（x）在[-1，5]上的最大值為，最小值為-．（6分）
（2）由已知有f′（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1），x∈R．
函數(shù)y=f′（x）的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是二次方程
x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的實(shí)數(shù)根，解得x₁=3m，x₂=1-m．
①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，有3m=1-m⇒m=，此時(shí)x₁=x₂=∈（-1，5）為所求．（8分）
②當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，令H（x）=x²-（2m+1）x-3m（m-1），則函數(shù)y=f′（x）的圖象在（-1，5）上與x軸有唯一的公共點(diǎn)⇒H（-1）•H（5）≤0，而H（-1）=-3m²+5m+2，H（5）=-3m²-7m+20，（9分）
所以（-3m²+5m+2）（-3m²-7m+20）≤0，
即（m-2）（3m+1）（m+4）（3m-5）≤0，
解得-4≤m≤-或≤m≤2．（10分）
經(jīng)檢驗(yàn)端點(diǎn)，當(dāng)m=-4和m=2時(shí)，不符合條件，舍去．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m=或-4＜m≤-或≤m＜2．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．