Question

若直線l與圓C：x²+y²-4y+2=0相切，且與兩條坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則此三角形的面積為

8

．

Answer 1

分析：把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形為等腰直角三角形，可得直線l的斜率為1或-1，可設(shè)直線l為y=-x+a（或y=x+b），根據(jù)直線l與圓相切，可得圓心到直線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出直線l的方程，進(jìn)而求出直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可求出所求三角形的面積．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：x²+（y-2）²=2，
∴圓心C的坐標(biāo)為（0，2），半徑r=

2

，
由直線l與兩條坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，
不妨設(shè)直線l為y=-x+a，
∵直線l與圓C相切，∴圓心到直線l的距離d=

|2-a|

2

=r=

2

，
即2-a=2或2-a=-2，解得：a=0（舍去）或a=4，
∴直線l的方程為y=-x+4，
∴直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）；
若直線l設(shè)為y=x+b，同理可得b=4，即直線l為y=x+4，
此時(shí)直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
綜上，直線l與坐標(biāo)軸圍成三角形面積S=

1

2

×4×4=8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運(yùn)用此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．