Question

【題目】已知直線l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒過定點(diǎn)P，圓C經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)P，且圓心在直線x﹣2y+1=0上．
（1）求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求圓C的方程；
（3）已知點(diǎn)P為圓C直徑的一個(gè)端點(diǎn)，若另一個(gè)端點(diǎn)為點(diǎn)Q，問：在y軸上是否存在一點(diǎn)M（0，m），使得△PMQ為直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0得，k（x﹣3）﹣（x+2y﹣5）=0，

令 ，得 ，即定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）．

（2）解：設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由條件得 ，解得 ．

所以圓C的方程為x2+y2﹣14x﹣8y+40=0，

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（x﹣7）2+（y﹣4）2=25．

（3）解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣7）2+（y﹣4）2=25，則 ，

設(shè)點(diǎn)P（3，1）關(guān)于圓心（7，4）的對稱點(diǎn)為（x0，y0），則有 ，

解得x0=11，y0=7，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（11，7）．

因?yàn)镸在圓外，所以點(diǎn)M不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，

若點(diǎn)P為直角三角形的頂點(diǎn)，則有 ，m=5，

若點(diǎn)Q是直角三角形的頂點(diǎn)，則有 ， ，

綜上，m=5或 ．

【解析】（1）左右直線l的方程：k（x﹣3）﹣（x+2y﹣5）=0，令 ，即可求得定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)圓的方程，由題意列方程組，即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）由（2）可知：求得直線CP的斜率，根據(jù)對稱性求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由M在圓外，所以點(diǎn)M不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，分類討論，即可求得m的值．