Question

2．已知拋物線C：y²=x，過點M（2，0）作直線l：x=ny+2與拋物線C交于A，B兩點，點N是定直線x=-2上的任意一點，分別記直線AN，MN，BN的斜率為k₁，k₂，k₃．
（Ⅰ） 求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ） 試探求k₁，k₂，k₃之間的關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\left\{\begin{array}{l}x=ny+2\\{y^2}=x\end{array}\right.$可得y²-ny-2=0，再由韋達(dá)定理得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，證明k₁+k₃=2k₂即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由 $\left\{\begin{array}{l}x=ny+2\\{y^2}=x\end{array}\right.$可得  y²-ny-2=0
由韋達(dá)定理可得  y₁+y₂=n，y₁y₂=-2…（3分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=4-2=2，…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)n=0時，A（2，$\sqrt{2}$）、$B（2，-\sqrt{2}）$
不妨取N（-2，2），則k₁=$\frac{2-\sqrt{2}}{-4}$，k₂=$\frac{2}{-4}$，k₃=$\frac{2+\sqrt{2}}{-4}$
易得k₁+k₃=2k₂． …（7分）
設(shè)N（-2，y₀），k₂=-$\frac{{y}_{0}}{4}$
k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{2n{y_1}{y_2}+（4-n{y_0}）（{y_1}+{y_2}）-8{y_0}}}{{{n^2}{y_1}{y_2}+4n（{y_1}+{y_2}）+16}}$=$\frac{-4n+（4-n{y}_{0}）n-8{y}_{0}}{-2{n}^{2}+4{n}^{2}+16}$=-$\frac{{y}_{0}}{2}$=2k₂
∴k₁+k₃=2k₂，k₁，k₂，k₃成等差數(shù)列． …（12分）

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．