Question

17．已知圓C的方程為（x-3）²+y²=1，圓M的方程為（x-3-3cosθ）²+（y-3sinθ）²=1（θ∈R），過M上任意一點P作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A、B，則∠APB的最大值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 首先判斷圓與圓的位置關系，進一步利用特殊位置把結論轉化為解三角形問題，最后求出∠APB的最大值．

解答 解：圓C的方程為（x-3）²+y²=1，圓心坐標為：C（3，0）半徑r=1．
圓M的方程（x-3-3cosθ）²+（y-3sinθ）²=1，圓心坐標為：M（3+3cosθ，3sinθ），半徑R=1．
由于cos²θ+sin²θ=1，|C₁C₂|＞R+r，
所以兩圓相離．
過M上任意一點P作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A、B，則要求∠APB的最大值，
只需滿足：在圓M找到距離圓C最近點即可．
所以|PC|=3-1=2，|AC|=1．
解得：∠APC=$\frac{π}{6}$，
所以：∠APB=$\frac{π}{3}$，
即∠APB的最大值為$\frac{π}{3}$．
故答案為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查的知識要點：圓與圓的位置關系，特殊位置出現相關的三角形知識，及角的最值問題．