Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-lnx，g（x）=e^x-ax，其中a為正實數(shù)．
（l）若x=0是函數(shù)g（x）的極值點，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；并由此判斷曲線g（x）與曲線y=

1

2

ax²-ax在（1，+∞）交點個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令它為0，求出a=1，再求f（x）的導(dǎo)數(shù)，令它大于0或小于0，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，由條件得到a≥1，再由g（x）的導(dǎo)數(shù)不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令g(x)=

1

2

ax2-ax即a=

2ex

x2

，令h（x）=

2ex

x2

，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，判斷極值與e的大小即可．

解答： 解：（1）由g′（x）=e^x-a，
g′（0）=1-a=0得a=1，f（x）=x-lnx
∵f（x）的定義域為：（0，+∞），f′(x)=1-

1

x

，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（2）由f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

若0＜a＜1則f（x）在（1，+∞）上有最小值f（

1

a

），
當(dāng)a≥1時，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增無最小值．
∵g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴g'（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
綜上所述a的取值范圍為[1，e]，
此時g(x)=

1

2

ax2-ax即a=

2ex

x2

，令h（x）=

2ex

x2

，h′（x）=

2ex(x-2)

x3

，
則 h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，（2，+∞）單調(diào)遞增，
極小值為h(2)=

e2

2

＞e．故兩曲線沒有公共點．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，求極值和最值，考查分類討論的思想方法，曲線與曲線交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值或最值問題，屬于中檔題．