Question

18．求下列函數(shù)的最值．
（1）f（x）=-x³+3x，x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；
（2）f（x）=-x⁴+2x²+3，x∈[-3，2]．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和最值，極值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和最值，極值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=-x³+3x，x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；
∴f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-$\sqrt{3}$＜x＜-1或1＜x＜$\sqrt{3}$，此時函數(shù)單調(diào)遞遞減，
即當(dāng)x=-1函數(shù)取得極大值f（-1）=1-3=-2，
當(dāng)x=1函數(shù)取得極小值f（1）=-1+3=2，
∵f（$\sqrt{3}$）=-3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=0，f（-$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$=0，
∴函數(shù)的最大值為2，最小值為-2．
（2）f（x）=-x⁴+2x²+3，x∈[-3，2]．
∴f′（x）=-4x³+4x=-4x（x-1）（x+1），
由f′（x）=0得x=0，或x=-1，或x=1，
則當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化如表：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+		-
f（x）	-60	遞增	極大值4	遞減	極小值3	遞增	極大值4	遞減	-5

則函數(shù)的最小值為-60，最大值為4．
法2：令x²=μ，
∵x∈[-3，2]，
∴μ∈[0，9]；
f（x）=-x⁴+2x²+3
=-（μ-1）²+4；
∴-60≤-（μ-1）²+4≤4；
故函數(shù)的最大值為4，函數(shù)的最小值為-60．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)最值，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．