Question

16．如圖，已知斜三棱柱ABC一A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，且BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BC⊥AC，BC⊥AC₁，BA₁⊥AC₁，由此能證明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）推導(dǎo)出平面A₁AB⊥平面BCF，過(guò)C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，求出CH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，過(guò)H作HG⊥A₁B于G，連CG，則CG⊥A₁B，從而∠CGH為二面角A-A₁B-C的平面角，由此能求出二面角A-A₁B-C的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）因?yàn)锳₁D⊥平面ABC，
所以，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，
所以，BC⊥平面AA₁C₁C，得BC⊥AC₁，
又BA₁⊥AC₁，
所以，AC₁⊥平面A₁BC．
解：（2）因?yàn)锳C₁⊥A₁C，所以四邊形AA₁C₁C為菱形，故AA₁=AC=2，
又D為AC中點(diǎn)，知∠A1AC=60°，
取AA₁的中點(diǎn)F，則AA₁⊥平面BCF，
從而，平面A₁AB⊥平面BCF，
過(guò)C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF，BC=2，CF=$\sqrt{3}$，故CH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
過(guò)H作HG⊥A₁B于G，連CG，則CG⊥A₁B，
從而∠CGH為二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以，CG=$\sqrt{2}$，
在Rt△CGH中，sin∠CGH=$\frac{CH}{CG}=\frac{\sqrt{42}}{7}$，
cosCGH=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{42}}{7}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故二面角A-A₁B-C的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．