Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題等價(jià)于$a＞\frac{lnx}{x}$，令$k（x）=\frac{lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=a-\frac{1}{x}$…（2分）
當(dāng)a≤0，f'（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），無遞增區(qū)間；…（3分）
當(dāng)a＞0，當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{a}$時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)$x＞\frac{1}{a}$時(shí)f'（x）＞0
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{a}}）$，遞增區(qū)間為$（{\frac{1}{a}，+∞}）$．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞0有ax＞lnx，因?yàn)閤＞0，所以ax＞lnx等價(jià)于$a＞\frac{lnx}{x}$．…（7分）
令$k（x）=\frac{lnx}{x}$，$k'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，由k'（x）=0可得x=e．…（8分）

	（0，e）	（e，+∞）
k'（x）	大于0	小于0
k（x）	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減

…（10分）
由上表可知$k（x）≤k（e）=\frac{1}{e}＜a$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1}{e}，+∞）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．