已知x，y滿足條件：
7x-5y-23≤0
x+7y-11≤0
4x+y+10≥0
，M（2，1），P（x，y），求：
（1）z=x-2y的最大值；
（2）z=x+7y的最大值；
（3）x2+y2的最大值；
（4）
2y+14
x+4
的取值范圍；
（5）z=|x+2y+20|的最小值；
（6）|
OP
|cos∠MOP的最小值．
考點：簡單線性規(guī)劃的應用
專題：計算題,作圖題,不等式的解法及應用
分析：由題意作出平面區(qū)域，
（1）化z=x-2y為y=
1
2
x-
z
2
，-
z
2
是y=
1
2
x-
z
2
的截距，從而解得；
（2）z=x+7y與x+7y-11=0平行，故z=x+7y的最大值為11；
（3）x2+y2的幾何意義是陰影內(nèi)的點到原點的距離的平方，從而求解；
（4）
2y+14
x+4
=2
y+7
x+4
的幾何意義是陰影內(nèi)的點與（-4，-7）連線的直線的斜率的2倍，從而求解；
（5）z=|x+2y+20|的幾何意義是陰影內(nèi)的點到直線x+2y+20=0的距離的
5
倍；從而求解；
（6）
OM
=（2，1）；
OP
=（x，y）；|
OP
|cos∠MOP=
OM
•
OP
|
OM
|
=
1
5
（2x+y）；從而求解．
解答： 解：由題意作出平面區(qū)域，
（1）化z=x-2y為y=
1
2
x-
z
2
，-
z
2
是y=
1
2
x-
z
2
的截距，
故由
4x+y+10=0
7x-5y-23=0
解得，
x=-1，y=-6；
此時z=x-2y取得最大值-1+12=11；
（2）z=x+7y與x+7y-11=0平行，
故z=x+7y的最大值為11；
（3）x2+y2的幾何意義是陰影內(nèi)的點到原點的距離的平方，
故其最大值為（-1）2+（-6）2=37；
（4）
2y+14
x+4
=2
y+7
x+4
的幾何意義是陰影內(nèi)的點與（-4，-7）連線的直線的斜率的2倍；
-6+7
-1+4
≤
y+7
x+4
≤
2+7
-3+4
；
即
1
3
≤
y+7
x+4
≤9，
故
2y+14
x+4
的取值范圍為[
2
3
，18]；
（5）z=|x+2y+20|的幾何意義是陰影內(nèi)的點到直線x+2y+20=0的距離的
5
倍；
由圖象可得，陰影內(nèi)的點到直線x+2y+20=0的最小距離為
d=
|-1-12+20|
5
=
7
5
；
故z=|x+2y+20|的最小值為7；
（6）
OM
=（2，1）；
OP
=（x，y）；
|
OP
|cos∠MOP=
OM
•
OP
|
OM
|

=
1
5
（2x+y）；
則當x=-1，y=-6時有最小值，
|
OP
|cos∠MOP的最小值為
1
5
（-2-6）=-
8
5
5
．
點評：本題考查了線性規(guī)劃的綜合應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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設函數(shù)f（x）=x5+x+sinx，x∈R，則不等式f（x2-2）+f（x）＜0的解集是
 
．

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1
2
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x2
a2
+
y2
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6
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2
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lim
x→∞
π
2
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sin
1
x
．

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(2-a)x-4a，x＜1
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A、（0，
1
3
）
B、[
1
3
，2）
C、（-1，0）
D、（-1，2）

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