Question

設函數f（x）=x⁵+x+sinx，x∈R，則不等式f（x²-2）+f（x）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：運用導數判斷函數的單調性，再由奇偶性的定義判斷奇偶性，不等式f（x²-2）+f（x）＜0即為f（x²-2）＜-f（x）=f（-x），即有x²-2＜-x，解不等式即可得到解集．

解答： 解：函數f（x）=x⁵+x+sinx的導數為：
f′（x）=5x⁴+1+cosx≥0，
則f（x）在R上遞增，
又f（-x）=-x⁵-x+sin（-x）=-（x⁵+x+sinx）=-f（x），
則f（x）為奇函數，
則不等式f（x²-2）+f（x）＜0即為f（x²-2）＜-f（x）=f（-x），
即有x²-2＜-x，解得，-2＜x＜1．
則解集為（-2，1）．
故答案為：（-2，1）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．