Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)過點(1，  

3

2

)，且離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P是橢圓C上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積S．

Answer 1

分析：（I）由橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

可得a=2c，從而可設出橢圓的標準方程，再將點(1，  

3

2

)的坐標代入可得求得答案．
（II）利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，又|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|，從而可求得△F₁PF₂的面積．

解答：解：（I）由e=

c

a

=

1

2

，可得a=2ca，因此設橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
將點(1，  

3

2

)的坐標代入可得c²=1，
∴所求方程是：

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）∵P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1．上的一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩個焦點，∠F₁PF₂=60°，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=16-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|×

1

2

=16-3|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4，
∴S△F₁PF₂=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)與標準方程，考查待定系數(shù)法，考查余弦定理與三角形的面積，屬于中檔題．