已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
解:(1)∵a
n+1=2a
n+1,(n∈N
*),
∴a
n+1+1=2(a
n+1),
∴
=2,
∴數(shù)列{a
n+1}是以2為公比的等比數(shù)列,
(2)由(1)知,數(shù)列{a
n+1}是等比數(shù)列,且q=2,首項(xiàng)為a
1+1=2,
∴a
n+1=2•2
n-1=2
n,
∴a
n=2
n-1,
∴數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和s
n=(2+2
2+…+2
n)-n=
-n=2
n+1-n-2.
分析:(1)把所給的遞推公式兩邊加上1后,得到a
n+1+1=2(a
n+1),再變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/6354.png' />=2,由等比數(shù)列的定義得證;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和條件,求出{a
n+1}的通項(xiàng)公式,再求出{a
n}的通項(xiàng)公式,利用分組求和方法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.
點(diǎn)評(píng):本題考察了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,以及一般數(shù)列的求和方法:分組求和,對(duì)于數(shù)列的求和問(wèn)題,一般先求出它的通項(xiàng)公式,再由通項(xiàng)公式的特點(diǎn)確定采用哪種方法.