Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）知，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，且q=2，首項(xiàng)為a₁+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n=-n=2ⁿ⁺¹-n-2．
分析：（1）把所給的遞推公式兩邊加上1后，得到a_n+1+1=2（a_n+1），再變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6354.png' />=2，由等比數(shù)列的定義得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和條件，求出{a_n+1}的通項(xiàng)公式，再求出{a_n}的通項(xiàng)公式，利用分組求和方法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考察了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及一般數(shù)列的求和方法：分組求和，對(duì)于數(shù)列的求和問(wèn)題，一般先求出它的通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式的特點(diǎn)確定采用哪種方法．