已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

解:(1)∵an+1=2an+1,(n∈N*),
∴an+1+1=2(an+1),
=2,
∴數(shù)列{an+1}是以2為公比的等比數(shù)列,
(2)由(1)知,數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,且q=2,首項(xiàng)為a1+1=2,
∴an+1=2•2n-1=2n,
∴an=2n-1,
∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn=(2+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.
分析:(1)把所給的遞推公式兩邊加上1后,得到an+1+1=2(an+1),再變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/6354.png' />=2,由等比數(shù)列的定義得證;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和條件,求出{an+1}的通項(xiàng)公式,再求出{an}的通項(xiàng)公式,利用分組求和方法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.
點(diǎn)評(píng):本題考察了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,以及一般數(shù)列的求和方法:分組求和,對(duì)于數(shù)列的求和問(wèn)題,一般先求出它的通項(xiàng)公式,再由通項(xiàng)公式的特點(diǎn)確定采用哪種方法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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