Question

已知函數(shù)，其中.

（1）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍；

（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，記直線 的斜率為，證明:存在，使成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）由題意可得

令則

令。

【解析】

試題分析：（1），令

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)， 有最小值

于是對(duì)于一切,恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)    ①

令，則

當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立

綜上所述的取值的集合為

（2）由題意可得

令則

令

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。故當(dāng)時(shí)，

即，，又，

所以

所以存在，使

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：典型題，在給定區(qū)間，導(dǎo)數(shù)非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)非正，函數(shù)為減函數(shù)。求函數(shù)的極值問題，基本步驟是“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、研究單調(diào)性、求極值”。“恒成立問題”往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解答。