Question

已知雙曲線左右兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為右支上一點(diǎn)，PF₂⊥F₁F₂，OH₂⊥PF₁于H，OH=λOF₁，．
（1）求雙曲線的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取得最大值時(shí)，過F₁，F(xiàn)₂，P的圓截y軸的線段長為4，求該圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）用λ表示離心率的平方，據(jù)λ的范圍求出離心率平方得最值，可得離心率的范圍，
（2）確定圓心位置及直徑，進(jìn)而得到半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（1）由題意
=，在 上單調(diào)遞增函數(shù)．
∴時(shí)，e²最大3，時(shí)，e²最小 2，
∴2≤e²≤3，∴．
（2）當(dāng) 時(shí)，，∴，∴b²=2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點(diǎn)，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=4．
又 ，∴．
∴，圓心C（0，1），半徑為2，x²+（y-1）²=4．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是圓與圓錐曲線的綜合，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的性質(zhì)、直線和圓錐曲線的關(guān)系． 關(guān)鍵是用λ表示離心率的平方，進(jìn)而得解．