Question

15．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是以A為直角的等腰直角三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點．
（1）求證AF∥平面BCE；
（2）設(shè)AB=2，求四棱錐C-ABED的體積．

Answer 1

分析 （1）取CE的中點M，連接BM，F(xiàn)M，可證明四邊形ABMF是平行四邊形得出AF∥BM，得出AF∥平面BCE；
（2）證明AC⊥平面ABED，代入棱錐的體積公式計算．

解答 解：（1）取CE的中點M，連接BM，F(xiàn)M，
∵F，M分別是CD，CE的中點，
∴FM∥DE，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$DE，
又AB∥DE，AB=$\frac{1}{2}$DE，
∴AB∥FM，AB=FM，
∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）∵AB⊥平面ACD，AC?平面ACD，
∴AC⊥AB，
又AC⊥AD，AB?平面ABED，AD?平面ABED，AB∩AD=A，
∴AC⊥平面ABED．
∵AB=2，∴AC=AD=DE=4，
∴V_C-ABED=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABED}•AC$=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×（2+4）×4×4=16．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．