Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）單調(diào)性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數(shù)g（x）=xf（x）對(duì)任意x∈[2，5]時(shí)，g（x）+2x+

3

2

＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）由題得f（x）=x+

a

x

+a，設(shè)1≤x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

…（2分）
因?yàn)?≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂0．所以f（x₁）-f（x₂）＜0…（4分）
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．…（5分）
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，要滿足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）
（3）g（x）=xf（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0得：x2+a(x+1)+2x+

3

2

＞0，即a(x+1)＞-(x+1)2-

1

2

 ①
因?yàn)閤∈[2，5]時(shí)，x+1∈[3，6]，那么①式可轉(zhuǎn)化為a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

…（9分）
所以題目等價(jià)于化為a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函數(shù)y=-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=(x+1)+

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）
令t=x+1，則t∈[3，6]，所以y=t+

1

2t

，由（1）得y=t+

1

2t

，
在t∈[3，6]，上為增函數(shù)，所以最小值為

19

6

．所以-

19

6

＜a＜1．…（12分）