Question

如圖，正三棱錐O-ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2.E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，過EF的一個平面與側棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A₁、B₁、C₁，已知OA₁=.

（1）求證：B₁C₁⊥平面OAH；

（2）求二面角O-A₁B₁-C₁；

Answer 1

解：解法一：

（1）證明：依題設，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點，所以⊥，

則⊥。              

因為⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。

因為⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，              

就是二面角的平面角。       

作⊥于，則∥，則是的中點，則。

設，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：

（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則

  

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

（2）由已知設

則

由與共線得:存在有得

同理:

設是平面的一個法向量,

則令得

又是平面的一個法量

              

所以二面角的大小為