Question

【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn).已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值；（2）.

【解析】

(1)求出，令求出方程的解，從而探究隨的變化情況，即可求出極值.

(2)求出，令，分，，三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，，

令，解得，則隨的變化如下表，

故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

故在時(shí)取得極小值；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

令，則，

當(dāng)時(shí)，在恒成立，故在上是增函數(shù)，

而，故當(dāng)時(shí)，恒成立，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由（1）知，在區(qū)間上沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍去）；

故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

①當(dāng)，即時(shí)，

在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在該零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，

②令得，不符合題意；

③令得，所以，

而，又，

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在該零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.