Question

10．如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△B'CD的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中點，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=2$\sqrt{3}$，如圖2．
（1）求證：FA∥平面BC'D；
（2）求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；
（3）在線段AD上是否存在一點M，使得C'M⊥平面FBC？若存在，求$\frac{AM}{AD}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得C′E⊥BD，又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，再由面面垂直的性質可得C′E⊥ABD，結合已知可得FA∥C′E，由線面平行的判定可得FA∥平面BC'D；
（2）以DB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，EC′所在直線為z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，求得平面FBC′與平面ABD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；
（3）假設在線段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC，由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AD}$求得M的坐標，得到$\overrightarrow{C′M}$，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C′M}=0$加以判斷．

解答 （1）證明：∵BC=CD，E為BD的中點，∴C′E⊥BD，
又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，
∴C′E⊥ABD，
∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C′E，而C′E?平面BC'D，F(xiàn)A?平面BC'D，
∴FA∥平面BC'D；
（2）解：以DB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，EC′所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），A（0，$-\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），F(xiàn)（0，-$\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$），
C′（0，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BF}=（-1，-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BC′}=（-1，0，\sqrt{3}）$．
設平面FBC′的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-x-\sqrt{3}y+2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC′}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，1）$．
又平面ABD的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
則平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（3）解：線段AD上不存點M，使得C'M⊥平面FBC．
假設在線段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC，
設$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AD}$，則（x，y$+\sqrt{3}$，z）=λ（-1，$\sqrt{3}$，0）=（-λ，$\sqrt{3}λ$，0），
∴x=-λ，y=$\sqrt{3}（λ-1）$，z=0．
則$\overrightarrow{C′M}$=（-λ，$\sqrt{3}（λ-1）$，-$\sqrt{3}$）．
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C′M}=0$，得$-\sqrt{3}λ+\sqrt{3}λ-\sqrt{3}=0$，即$-\sqrt{3}=0$錯誤．
∴線段AD上不存點M，使得C'M⊥平面FBC．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．