Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的

1

3

，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A、

  3

  4

  2

• B、

  3

  5

  5

• C、2
• D、

  2 3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：因?yàn)殡p曲線即關(guān)于兩條坐標(biāo)軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以任意一個(gè)焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，所以不妨利用點(diǎn)到直線的距離公式求（c，0）到y(tǒng)=

b

a

x的距離，再令該距離等于焦距的

1

3

，就可得到含b，c的齊次式，再把b用a，c表示，利用e=

c

a

即可求出離心率．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0）（-c，0），漸近線方程為y=±

b

a

x
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，任意一個(gè)焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，
求（c，0）到y(tǒng)=

b

a

x的距離，d=

bc

a2+b2

=b，
又∵焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的

1

3

，
∴b=

1

3

×2c，兩邊平方，得9b²=4c²，即9（c²-a²）=4c²，
∴5c²=9a²，∴e²=

9

5

，e=

3 5

5

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，以及雙曲線離心率的求法，求離心率關(guān)鍵是找到a，c的齊次式．