Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=3a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）n=1時(shí)，a₁=1．
∵2S_n=3a_n-1，∴2S_n+1=3a_n+1-1，
∴a_n+1=3a_n，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵b_n=n?3^n-1，
∴T_n=1?3⁰+2?3¹+3?3²+…+（n-1）?3^n-2+n?3^n-1，
3 T_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+（n-1）?3^n-1+n?3ⁿ，
兩式相減可得-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n?3ⁿ，
∴T_n=

2n-1

4

?3ⁿ+

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．