Question

已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，兩頂點(diǎn)間的距離為4，漸近線方程為y=±2x．

（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中雙曲線的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為F₁′，F(xiàn)₂′，求以F₁′，F(xiàn)₂′為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（0，2）的橢圓方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為．

                  由題意，得解得a＝2，b＝1．

         所求雙曲線的方程為…………………………………………6分

       （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，－），F(xiàn)₂（0，）．

點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為F₁′（－，0），F(xiàn)₂′（，0），又P（0，2），設(shè)橢圓方程為（m＞n＞0）．

          由橢圓定義，得2m=

因?yàn)閙²－n²＝5，所以n²＝4．

所以橢圓的方程為.………………………………………12分