Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）方程2^t•f（4^t）-mf（2^t）=0，當t∈[1，2]時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）求出f（4^t），f（2^t），所以原方程可變成（2^2t）²-m•2^t+m-1=0，該方程又可變成（2^2t-1）[2^2t-（m-1）]=0，可以得到4≤2^2t≤16，m-1=2^2t，所以得到4≤m-1≤16，解不等式即得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 證明：（1）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則：
f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)；
∵x₁，x₂＞0，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）解：根據(jù)解析式f（x）=x-

1

x

，原方程變成：2t•(4t-

1

4t

)-m(2t-

1

2t

)=0；
整理得，（2^2t）²-m•2^2t+m-1=0；
∴（2^2t-1）[2^2t-（m-1）]=0  ①；
∵t∈[1，2]；
∴2^2t∈[4，16]；
∴2^2t-1＞0；
∴由方程①得，2^2t-（m-1）=0；
∴m-1=2^2t；
∴4≤m-1≤16；
∴5≤m≤17；
∴實數(shù)m的取值范圍為[5，17]．

點評：考查單調(diào)增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分解因式．