Question

2．求曲線y=$\sqrt{x}$，x+y=6，y=-$\frac{1}{4}$x圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

分析 方法一：求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)定積分的幾何性質(zhì)，計(jì)算即可求得圍成的平面圖形的面積；
方法二：求得交點(diǎn)坐標(biāo)，對y積分，根據(jù)定積分的幾何性質(zhì)，計(jì)算即可求得圍成的平面圖形的面積．

解答 解：方法一：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，則A（4，2），
則C（6，0），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=-\frac{1}{4}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-2}\end{array}\right.$，則B（8，-2），
則陰影部分的面積${∫}_{0}^{4}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{4}^{6}$（-x+6）dx+S_△OBC，
=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${丨}_{0}^{4}$+（-$\frac{1}{2}$x²+6x）${丨}_{-4}^{6}$+$\frac{1}{2}$×6×2，
=$\frac{16}{3}$+2+6，
=$\frac{40}{3}$，
則所圍成的平面圖形的面積S=$\frac{40}{3}$．
方法二：對y積分，則陰影部分的面積${∫}_{0}^{2}$（6-y-y²）dy+S_△OBC，
=（6y-$\frac{1}{2}$y²-$\frac{1}{3}$y³）${丨}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}$×6×2，
=$\frac{22}{3}$+6，
=$\frac{40}{3}$，
則所圍成的平面圖形的面積S=$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評 本題定積分的幾何意義，利用定積分求陰影部分的面積，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．