Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由遞推數(shù)列求數(shù)列的通項公式，適當(dāng)?shù)淖冃危�證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．可得，a_n+1a_n=a_n-a_n+1，
兩邊同除以a_na_n+1，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差為1.$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）•1，
上述n-1個等式累加，
可得a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，∴T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$…①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$$+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{6}{{2}^{n+1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減求和法的合理運用．解答本題用到的累加法是求數(shù)列通項公式以及數(shù)列前n項和的重要方法．