Question

1．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{7}$，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡已知條件，通過三角形內角求解A的大小即可．
（Ⅱ）利用余弦定理可求c的值，通過三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）asinB=$\sqrt{3}$bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
∵B是三角形內角，∴sinB≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，A是三角形內角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{7}$，b=2，A=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：7=4+c²-2×$2×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-2c-3=0，
解得：c=3或-1（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查計算能力和轉化思想，屬于中檔題．