Question

10．在△ABC中，a²+b²=c²+ab，且cosAcosB=$\frac{1}{4}$，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 由a²+b²=c²+ab，用余弦定理可求出C角，由已知及三角形內(nèi)角和定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式可求cos（A-B）=1，結(jié)合范圍-π＜A-B＜π，從而解得A=B=60°=C，即可判斷三角形的形狀．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC．
∵a²+b²=c²+ab，
∴ab-2abcosC=0．
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴結(jié)合C為三角形內(nèi)角，可得：C=60°，
∵cosAcosB=$\frac{1}{4}$，
∵cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{1}{4}$-sinAsinB=-$\frac{1}{2}$，
∴sinAsinB=$\frac{3}{4}$．
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0．
∴A=B=60°=C，
故：△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．