Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=n2+2n（其中n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；  
（2）設(shè)bn=an•23n-3，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答：解：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+2=3；
②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
上式對(duì)于n=1時(shí)也成立．
綜上：a_n=2n+1．
（2）由題意得：bn=(2n+1)•23n-3=（2n+1）•8^n-1．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為T(mén)_n．
則T_n=3×1+5×8+7×8²+…+（2n+1）•8^n-1．
∴8T_n=3×8+5×8²+…+（2n-1）•8^n-1+（2n+1）•8ⁿ，
兩式相減得-7T_n=3+2×8+2×8²+…+2×8^n-1-（2n+1）•8ⁿ
=1+2×（1+8+8²+…+8^n-1）-（2n+1）•8ⁿ
=1+2×

8n-1

8-1

-（2n+1）•8ⁿ=1+

2

7

(8n-1)-(2n+1)•8n
=

5

7

-

14n+5

7

•8n．
∴Tn=

(14n+5)•8n-5

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．