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2.已知函數(shù)fx={x22x+3x11nxx1,若關于x的方程fx=kx12恰有四個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是( �。�
A.12eB.[12eC.12ee]D.12ee

分析 由題意可得f(x)的圖象和直線y=kx-12有4個交點,數(shù)形結合可得點(1,0)在直線y=kx-12的下方,由此可得k的范圍.再求出直線y=kx-12和y=lnx相切時k的值,數(shù)形結合求得k的范圍.

解答 解:∵函數(shù)fx={x22x+3x11nxx1,若關于x的方程fx=kx12恰有四個不相等的實數(shù)根,
∴f(x)的圖象和直線y=kx-12有4個交點.
做出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-12的下方,
∴k•1-12>0,解得k>12
再根據(jù)當直線y=kx-12和y=lnx相切時,設切點橫坐標為m,
則 k=lnm+12m0=1m,∴m=e,此時,k=1m=ee,f(x)的圖象和直線y=kx-12有3個交點,不滿足條件,
故要求的k的范圍是(12,ee),
故選:D.

點評 本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷,求曲線的切線的斜率,體現(xiàn)了數(shù)形結合、轉化的數(shù)學思想,屬于中檔題.

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