Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=3a_n-3（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

log  3 2 an

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當n=1時，a₁=S₁=3a₁-3，解得a₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為2a_n=3a_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式可得an=(

3

2

)n．利用對數(shù)的運算法則可得b_n=

1

n

•(

3

2

)n．
（II）由（I）可得

1

bn

=n•(

2

3

)n．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）當n=1時，a₁=S₁=3a₁-3，解得a₁=

3

2

．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3-（3a_n-1-3），
化為2a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴an=(

3

2

)n．
∴b_n=

an

log  3 2 an

=

( 3 2 )n

log 3 2 ( 3 2 )n

=

1

n

•(

3

2

)n．
（II）

1

bn

=n•(

2

3

)n．
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n=1×

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n，

2

3

Tn=(

2

3

)2+2×(

2

3

)3+…+(n-1)×(

2

3

)n+n×(

2

3

)n+1，
∴

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n×(

2

3

)n+1=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n×(

2

3

)n+1=2-3×(

2

3

)n+1，
∴T_n=6-9(

2

3

)n+1．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、對數(shù)的運算法則、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．