已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=1,a3=4.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)bn=
5
2
+log2an
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn
(III)比較
1
2
n3
+2(n∈N*)與(II)中Sn的大小,并說明理由.
分析:(I)由條件根據(jù)關(guān)于正數(shù)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 4=1×q2,可得q的值,由此求得等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(II)先求得bn=
5
2
+log2an
=n+
3
2
,可得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且公差為1,首項(xiàng)為
5
2
,由此求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn
(III)當(dāng)n=1,或n=2時(shí),經(jīng)過檢驗(yàn),
1
2
n3
+2(n∈N*)與
1
2
n(n+4)相等; 當(dāng)n=3時(shí),經(jīng)過檢驗(yàn),
1
2
n3
+2>
1
2
n(n+4).可得當(dāng)n≥3時(shí),有
1
2
n3
+2>
1
2
n(n+4),
該結(jié)論得出的依據(jù)是:當(dāng)自變量的取值較大時(shí),三次函數(shù)的增長速度大于二次函數(shù)的增長速度.
解答:解:(I)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=1,a3=4,設(shè)公比為q,則由4=1×q2,可得q=2.
故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an=1×2n-2=2n-1
(II)由于 bn=
5
2
+log2an
=
5
2
+(n-1)=n+
3
2
,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且公差為1,故此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn =
n[
5
2
+(n+
3
2
)]
2
=
1
2
n(n+4).
(III)當(dāng)n=1,或n=2時(shí),經(jīng)過檢驗(yàn),
1
2
n3
+2(n∈N*)與
1
2
n(n+4)相等,當(dāng)n=3時(shí),經(jīng)過檢驗(yàn),
1
2
n3
+2>
1
2
n(n+4).
故當(dāng)n≥3時(shí),
1
2
n3
+2>
1
2
n(n+4).
這是因?yàn)楫?dāng)n比較大時(shí),函數(shù)
1
2
n3
+2 的增長速度大于Sn =
1
2
n(n+4)的增長速度.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,數(shù)列的函數(shù)特性,屬于中檔題.
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(本題滿分12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列
的等比中項(xiàng)。
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)若的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn

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已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,的等比中項(xiàng)為,則的最小值為(    )

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 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列

的等比中項(xiàng)。

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的等比中項(xiàng)。

(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;

(2)若的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn。

 

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