Question

（2013•韶關(guān)一模）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

5

，兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M（x₀，y₀）是橢圓C上一點(diǎn)，且△F₁F₂M的周長(zhǎng)為16，設(shè)線段MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與圓O：x²+y²=r²交于點(diǎn)N，且線段MN長(zhǎng)度的最小值為

15

4

．
（1）求橢圓C以及圓O的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)M（x₀，y₀）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷直線l：x₀x+y₀y=1與圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的半焦距，由離心率為

3

5

，△F₁F₂M的周長(zhǎng)為16聯(lián)立求出半長(zhǎng)軸和半焦距，則b可求，橢圓方程可求，結(jié)合橢圓方程把M到原點(diǎn)的距離用M的橫坐標(biāo)表示，利用二次函數(shù)求最值求出|MO|的最小值，則|MN|的最小值可求，代入數(shù)值可求圓的半徑，則圓的方程可求；
（2）由點(diǎn)M在橢圓上，把其縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式寫出原點(diǎn)到直線x₀x+y₀y=1的距離，根據(jù)M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值情況討論直線l：x₀x+y₀y=1與圓O的位置關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，則

c

a

=

3

5

，即c=

3

5

a①，
又|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=16②，
聯(lián)立①②，解得a=5，c=3，所以b=

a2-c2

=4，
所以橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1；    
而橢圓C上點(diǎn)M（x₀，y₀）與橢圓中心O的距離為|MO|=

x 2 0 + y 2 0

=

x 2 0 +16- 16 25 x 2 0

=

9 25 x 2 0 +16

≥4，
等號(hào)在x₀=0時(shí)成立，
而|MN|=|MO|-r，則|MN|的最小值為4-r=

15

4

，從而r=

1

4

，
則圓O的方程為x2+y2=

1

16

．     
（2）因?yàn)辄c(diǎn)M（x₀，y₀）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，所以

x 2 0

25

+

y 2 0

16

=1，
即

y

2 0

=16-

16

25

x

2 0

，
圓心O到直線l：x₀x+y₀y=1的距離d=

1

x02+y02

=

1

x02+16- 16 25 x02

=

1

9 25 x02+16

，
當(dāng)x₀=0，y₀=±4時(shí)，d=

1

16

=

1

4

=r，則直線與圓O相切． 
當(dāng)x₀≠0時(shí)，d＜

1

16

=

1

4

=r，則直線與圓O相交．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓河源的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中高檔題．