Question

（2013•樂山二模）已知

OA

=（1，sinx-1），

OB

=（sinx+sinxcosx，sinx），函數(shù)f（x）=

OA

•

OB

（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，從而求得它的周期．
（2）根據(jù)x∈[-

π

2

，0]，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]的最大值與最小值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

OA

•

OB

=（1，sinx-1）•（sinx+sinxcosx，sinx）=sinx+sinxcosx+（sinx-1）sinx
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，即 f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
故f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[-

π

2

，0]，∴2x-

π

4

∈[-

5π

4

，-

π

4

]，
故當(dāng)2x-

π

4

=-

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

 取得最小值為

1- 2

2

；
2x-

π

4

=-

5π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

 取得最大值為

2

2

×

2

2

+

1

2

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．