Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）一定是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，-4]上為增函數(shù)；
③直線x=-4是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，6]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，令x=-2，易求f（-2）=0，利用f（x）為偶函數(shù)可知f（2）=0，于是可得f（x+4）=f（x），可判斷①；
②，依題意易知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，-4]上為減函數(shù)，可判斷②；
③，利用偶函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)的性質(zhì)可判斷③；
④，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)及周期性可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，∵對(duì)于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，
∴令x=-2，則f（2）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0，又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，∵x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，在[-2，0]上是減函數(shù)，又其周期為4，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，-4]上為減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵y=f（x）為偶函數(shù)，∴直線x=0（即y軸）是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，又函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，
∴直線x=-4是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，故③正確；
對(duì)于④，∵f（-2）=f（2）=0，函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，
∴f（-6）=f（-2）=0，f（6）=f（2）=0，又y=f（x）在區(qū)間[-6，-4]，[-2，0]，[2，4]上均為減函數(shù)；
在區(qū)間[-4，-2]，[0，2]，[4，6]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，6]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，故④正確．
綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，突出考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性與函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．