Question

求函數(shù)y=lg（3-4sin²x）的定義域和值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題可以先根據(jù)對數(shù)式的定義，得到一個三角不等式，解三角不等式，得到函數(shù)定義域，再利用三角函數(shù)的值域求出3-4sin²x的范圍，從而求出函數(shù)y=lg（3-4sin²x）的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=lg（3-4sin²x），
∴3-4sin²x＞0，
∴-

3

2

＜sinx＜

3

2

，
∴2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z．
∴函數(shù)y=lg（3-4sin²x）的定義域為{x|2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z}．
由2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z得：
∴0≤sin2α＜

3

4

，
∴0＜3-4sin²x≤3，
∴l(xiāng)g（3-4sin²x）≤lg3．
∴函數(shù)y=lg（3-4sin²x）的值域為（-∞，lg3]．
∴函數(shù)y=lg（3-4sin²x）的定義域為{x|2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

或2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π，k∈Z}，值域為（-∞，lg3]．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、值域，本題難度不大，屬于基礎題．