Question

某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）.已知PA=100 m，PB=150 m,∠APB=60°,試說明怎樣運(yùn)土最省工.

Answer 1

剖析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn).

    顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn).則有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜.

    于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=150-100=50.

    從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程.

解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)M(x,y)是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則

    ｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜,

    ∴｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.

    在△PAB中，由余弦定理得｜AB｜²=｜PA｜²+｜PB｜²-2｜PA｜｜PB｜c(diǎn)os60°=17 500,

且50＜｜AB｜.由雙曲線定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，設(shè)此雙曲線方程為-=1(a＞0,b＞0).

    ∵

    解之得

    ∴M點(diǎn)軌跡是-=1(x≥25)在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧.于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工.

講評(píng)：（1）本題是不等量與等量關(guān)系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域.

（2）應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：①確定分類的對(duì)象；②進(jìn)行合理的分類；③逐類逐級(jí)討論；④歸納各類結(jié)果.