Question

11．如圖，梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2，AB||CD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，
設(shè)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AB}$（λ＞0，μ＞0），$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$）．
（1）當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{1}{4}$時(shí)，點(diǎn)A，G，C是否共線，請(qǐng)說明理由；
（2）若△AMN的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求|$\overrightarrow{AG}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）用向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$表示$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，即可判定$\overrightarrow{AG}$與$\overrightarrow{AC}$共線，從而A，G，C三點(diǎn)共線．
（2）|$\overrightarrow{AM}$=λ|$\overrightarrow{AD}$|=2λ，|$\overrightarrow{AN}$|=μ|$\overrightarrow{AB}$|=2μ，S_△AMN=$\frac{1}{2}$|AM|•|AN|•sin∠MAN=$\sqrt{3}$λμ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以λμ=$\frac{1}{4}$
從而，|$\overrightarrow{AG}$|²=（$\overrightarrow{AG}$）²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$）²=$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{AM}$|²+|$\overrightarrow{AN}$|²+2$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$）=$\frac{1}{4}$（4λ²+4μ²+4λμ）=λ²+μ²+λμ≥2λμ+λμ=3λμ=$\frac{3}{4}$即可

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$…（2分）
又$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$）=$\frac{1}{2}$（λ$\overrightarrow{AD}$+μ$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$…（5分）
故$\overrightarrow{AG}$與$\overrightarrow{AC}$共線，從而A，G，C三點(diǎn)共線．…（6分）
（2）|$\overrightarrow{AM}$=λ|$\overrightarrow{AD}$|=2λ，|$\overrightarrow{AN}$|=μ|$\overrightarrow{AB}$|=2μ，
S_△AMN=$\frac{1}{2}$|AM|•|AN|•sin∠MAN=$\sqrt{3}$λμ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以λμ=$\frac{1}{4}$，（λ＞0，μ＞0）…（8分）
從而，|$\overrightarrow{AG}$|²=（$\overrightarrow{AG}$）²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$）²=$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{AM}$|²+|$\overrightarrow{AN}$|²+2$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$）
=$\frac{1}{4}$（4λ²+4μ²+4λμ）=λ²+μ²+λμ≥2λμ+λμ=3λμ=$\frac{3}{4}$…（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ=$\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立．…（11分）
故|$\overrightarrow{AG}$|的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的基本定理、數(shù)量積運(yùn)算、三角形面積計(jì)算，屬于中檔題．