Question

已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（

π

4

，

5π

12

），求f（x）的最大值及最小值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（-x），求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=

2

cos（2x+

π

4

），從而可求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（

π

4

，

5π

12

），可求得2x-

π

4

∈（

3π

4

，

13π

12

），即可求得當(dāng)x=

π

4

時，f（x）的最大值為-1；當(dāng)x=

3π

8

時，f（x）的最小值為-

2

．
（3）g（x）=f（-x）=

2

cos（-2x+

π

4

）=

2

cos（2x-

π

4

）．由2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，由2kπ-π≤2x-

π

4

≤2kπ，可解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，從而得到g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題知f（x）=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）因為x∈（

π

4

，

5π

12

），所以2x-

π

4

∈（

3π

4

，

13π

12

），
所以f（x）∈[-

2

，-1]．
所以當(dāng)x=

π

4

時，f（x）的最大值為-1；當(dāng)x=

3π

8

時，f（x）的最小值為-

2

．
（3）g（x）=f（-x）=

2

cos（-2x+

π

4

）=

2

cos（2x-

π

4

）．
由2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）．
由2kπ-π≤2x-

π

4

≤2kπ，解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
注意：其它的解題方案導(dǎo)致其它的解題結(jié)果．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．