Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx
（1）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值與最小值；
（2）已知直線l：y=2x+a與函數(shù)f（x）的圖象相切，求切點的坐標(biāo)及a的值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）導(dǎo)數(shù)f′（x），判斷出f′（x）=x+

1

x

＞0在區(qū)間[1，e]上恒成立，得到f（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，進一步求出f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值與最小值；
（2）令f′（x）=2求得x=1將x=1代入f（x）=

1

2

x²+lnx得到切點坐標(biāo)為（1，

1

2

）；將切點坐標(biāo)代入直線方程求得a的值

解答：解：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)得：f′（x）=x+

1

x

；
因為f′（x）=x+

1

x

＞0在區(qū)間[1，e]上恒成立，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，
所以當(dāng)x=1時，f（x）有最小值為f（1）=

1

2

；當(dāng)x=e時，f（x）有最大值f（e）=

1

2

e2+1．
（2）由題意得f′（x）=2即f′（x）=x+

1

x

=2解得x=1
將x=1代入f（x）=

1

2

x²+lnx得f（1）=

1

2

即切點坐標(biāo)為（1，

1

2

）；
將切點坐標(biāo)（1，

1

2

）代入直線l：y=2x+a得a=-

3

2

故切點坐標(biāo)為（1，

1

2

）；a=-

3

2

點評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；考查函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，屬于中檔題．