Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x-lna，g（x）=

1

2

x2-（a-1）x．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求實數(shù)a的取值范圍并證明x₁+x₂隨a的增大而減�。�

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的導函數(shù)的值為正，得到函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的特征得到函數(shù)f（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂時的函數(shù)最值情況，得到a的相應(yīng)關(guān)系式，求出a的取取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到x₁+x₂與

x2

x1

=t單調(diào)關(guān)系，以及t與a的單調(diào)的關(guān)系式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=lnx-x-lna，g（x）=

1

2

x2-（a-1）x，
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x2-ax-lna，
∴定義域為（0，+∞）且a＞0，
∵h′(x)=

1

x

+x-a=

1

x

(x2-ax+1)=

1

x

[(x-

a

2

)2+

4-a

4

2)，
∵lnx，lna有意義，
∴x＞0，a＞0．
（1）當4-a²≥0，即0＜a≤2時，
h'（x）≥0對x＞0恒成立，
∴h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
（2）當4-a²＜0，又a＞0，即a＞2時，
由h'（x）=0得：x=

a- a2-4

2

，或x=

a+ a2-4

2

，
所以h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

a- a2-4

2

)，(

a+ a2-4

2

，+∞)；

（Ⅱ）當a＞0時，由f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，得x=1．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	-lna-1	↘

這時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
當x大于0且無限趨近于0時，f（x）的值無限趨近于-∞；
當x無限趨近于0時+∞，f（x）的值無限趨近于-∞，
∴f（x）有兩個零點，須滿足f（1）＞0，即lna＜-1，
∴a的取值范圍是（0，e^-1）．
∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，即lnx₁-x₁-lna=0，lnx₂-x₂-lna=0．
∴x2-x1=lnx2-lnx1=ln

x2

x1

．
設(shè)

x2

x1

=t，則t＞1，且

x2=tx1 x2-x1=lnt

解得x1=

lnt

t-1

，x2=

tlnt

t-1

．
所以x1+x2=

(t+1)lnt

t-1

．
令h(x)=

(x+1)lnx

x-1

，x∈（1，+∞），則h′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

．
令u(x)=-2lnx+x-

1

x

，得u′(x)=(

x-1

x

)2．
當x∈（1，+∞）時，u'（x）＞0．因此，u（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴對于任意的x∈（1，+∞），
u（x）＞u（1）=0，
由此可得h'（x）＞0，
故h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴由①可得x₁+x₂隨著t的增大而增大．①
∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，
即lnx₁-x₁-lna=0，lnx₂-x₂-lna=0，
∴a=

x1

ex1

，a=

x2

ex2

，
因為f（1）=-1-lna且a∈（0，e^-1），則x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）．
設(shè)F(x)=

x

ex

，則F′(x)=

1-x

ex

，
所以F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
對于任意的a1，a2∈(0，e-1)，設(shè)a₁＞a₂，
∴F（ξ₁）=F（ξ₂）=a₁，其中0＜ξ₁＜1＜ξ₂；
F（η₁）=F（η₂）=a₂，其中0＜η₁＜1＜η₂．
∵F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴由a₁＞a₂，即F（ξ₁）＞F（η₁），可得ξ₁＞η₁；
類似可得ξ₂＜η₂，
由ξ₁，η₁＞0，則

1

ξ

1＜

1

η1

，所以

ξ2

ξ1

＜

η2

η1

．
∴t=

x2

x1

隨著a的增大而減�。�②
由①②得：x₁+x₂隨a增大而減小．

點評：本題考查了函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系，以及構(gòu)造函數(shù)研究參數(shù)之間的關(guān)系，本題思維的難度大，運算量也較大，屬于難題．