Question

5．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：ρsinθ-ρcosθ=$\frac{1}{2}$與曲線C交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C上當φ=$\frac{2}{3}π$時所對應的點為M，求△MPQ的面積．

Answer 1

分析 （I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1即可化為普通方程．直線l：ρsinθ-ρcosθ=$\frac{1}{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標方程．
（II）當φ=$\frac{2}{3}π$時所對應的點為M$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，利用點到直線的距離公式可得：點M到直線l的距離h．圓心（0，0）到直線l的距離d．可得：|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-eb1hese^{2}}$．因此△MPQ的面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•h．

解答 解：（I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為x²+y²=1．
直線l：ρsinθ-ρcosθ=$\frac{1}{2}$，化為直角坐標方程：2y-2x=1．
（II）當φ=$\frac{2}{3}π$時所對應的點為M$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴點M到直線l的距離h=$\frac{|\sqrt{3}+1-1|}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
圓心（0，0）到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-g8igykt^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴△MPQ的面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•h=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{21}}{8}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．