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已知函數f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函數f（x）是偶函數，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值；
（3）要使函數f（x）在區(qū)間[-1，3]上單調遞增，求b的取值范圍．

解：（1）∵函數為偶函數，
∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
即：x2-bx+c=x2+bx+c
∴b=0
又∵f（1）=0．
∴c=-1
∴f（x）=x2-1；
（2）由（1）易知其對稱軸為：x=0
∴當x=0時，?f（x）min=-1，?
當x=3時，f（x）max=8；
（3）∵函數f（x）在區(qū)間[-1，3]上單調遞增
∴，
∴b≥2
即b≥2時，f（x）在區(qū)間[-1，3]上是遞增的．
分析：（1）由函數為偶函數，則有f（-x）=f（x）恒成立，再用待定系數法求解．
（2）由（1）易知其對稱軸和開口方向，明確其單調性，再求函數最值．
（3）先用配方法將函數變形，求出其對稱軸，由“在區(qū)間[-1，3]上單調遞增”則有，再求解即可．
點評：本題主要考查二次函數解析式，單調性與最值的求法，明確對稱軸和開口方向是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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