Question

【題目】某處有一塊閑置用地，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧和兩條線段，構(gòu)成.已知圓心O在線段上，現(xiàn)測(cè)得圓O半徑為2百米，，.現(xiàn)規(guī)劃在這片閑置用地內(nèi)劃出一片梯形區(qū)域用于商業(yè)建設(shè)，該梯形區(qū)域的下底為，上底為，點(diǎn)M在圓弧（點(diǎn)D在圓弧上，且）上，點(diǎn)N在圓弧上或線段上.設(shè).

（1）將梯形的面積表示為的函數(shù)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，梯形的面積最大？求出最大面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，梯形的面積取得最大值平方百米.

【解析】

(1)結(jié)合點(diǎn)N的位置分析角相應(yīng)的取值范圍，分情況討論即可求解；

(2)根據(jù)(1)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可求解函數(shù)的最大值.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)M在圓弧上，，當(dāng)點(diǎn)M分別與點(diǎn)A，D重合時(shí)，梯形不存在，

所以.

過(guò)點(diǎn)B作，且交圓弧于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，所以.

由垂徑定理可知垂直平分，

因此，，

因此，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在圓弧上，當(dāng)上時(shí)，點(diǎn)N在線段上.

設(shè)，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以.

又，所以.

由垂徑定理可知，在中，，

，

因?yàn)?/span>，所以在中，，，

所以梯形的面積

；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，，

所以四邊形為矩形，故，

所以梯形的面積

.

綜上，

（2）①當(dāng)時(shí)，，

.

因?yàn)?/span>時(shí)，，

所以，

故在上單調(diào)遞減，.

②當(dāng)時(shí)，，

.

因?yàn)?/span>時(shí)，，

所以，

故在上單調(diào)遞增，.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，梯形的面積取得最大值平方百米.