Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，且此長方體的頂點都在半徑為的球面上，則DC₁與B₁C所成角的余弦值是________，棱AA₁的長度為________．

Answer 1

    2
分析：設(shè)棱AA₁的長度為a，根據(jù)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，可知BC的長度為a，CD的長度為a，利用長方體的頂點都在半徑為的球面上，可求棱AA₁的長度；連接AB₁，AC，則AB₁∥DC₁，則∠A₁B₁C（或其補角）為DC₁與B₁C所成角，在△A₁B₁C中，，利用余弦定理可求DC₁與B₁C所成角的余弦值
解答：解：設(shè)棱AA₁的長度為a
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°
∴BC的長度為a，CD的長度為a
∵長方體的頂點都在半徑為的球面上
∴
∴a=2
即棱AA₁的長度為2
連接AB₁，AC，則AB₁∥DC₁，
∴∠A₁B₁C（或其補角）為DC₁與B₁C所成角
在△A₁B₁C中，
∴
故答案為：，2
點評：本題考查的重點是線線角，考查長方體中棱長的計算，求線線角的關(guān)鍵是利用平移法，作出線線角．