Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，對于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若（b_n-n）•a_n=n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由對于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0，變形為S_n+1$+\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），利用等比數(shù)列的通項公式可得S_n，再利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵對于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0，∴S_n+1$+\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），
∴數(shù)列$\{{S}_{n}+\frac{1}{2}\}$是等比數(shù)列，首項為$\frac{3}{2}$，公比為3．
∴S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$-$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$-$\frac{1}{2}$-$（\frac{1}{2}×{3}^{n-1}-\frac{1}{2}）$=3^n-1．
當(dāng)n=1時也成立，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵（b_n-n）•a_n=n，∴b_n=n+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．
設(shè)數(shù)列$\{\frac{n}{{3}^{n-1}}\}$的前n項和為A_n，
則A_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{A}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{A}_{n}$=$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n}}$，
∴A_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．