Question

9．如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=1，AB=ED=EF=2，AD=DG=4．
（1）求證：BE⊥平面DEFG；
（2）求證：BF∥平面ACGD；
（3）求三棱錐A-FBC的體積．

Answer 1

分析 （1）由于平面ABC∥平面DEFG得AB∥DE，由AB=ED得四邊形ABED是平行四邊形，故BE∥AD，再由AD⊥平面DEFG得到BE⊥平面DEFG；
（2）取DG中點(diǎn)H，連接AH，F(xiàn)H，易證四邊形ABFH是平行四邊形，得出BF∥AH，從而得到BF∥平面ACGD；
（3）由平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG可知AD⊥平面ABC，于是V_棱錐A-FBC=V_棱錐F-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AD．

解答 證明：（1）∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC=AB，平面ABED∩平面DEFG=DE，
∴AB∥DE，又∵AB=ED，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AD，∵AD⊥平面DEFG，
∴：BE⊥平面DEFG．
（2）取DG中點(diǎn)H，連接AH，F(xiàn)H．
則DH=$\frac{1}{2}$DG=2，∵EF∥DG，EF=2
∴EF∥DH，EF=DH，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∴FH∥DE，F(xiàn)H=DE．
由（1）證明可知四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴AB∥FH，AB=FH，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，
∴BF∥AH，又∵AH?平面ACGD，BF?平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD．
（3）∵平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，
∴AD⊥平面ABC，
∴V_棱錐A-FBC=V_棱錐F-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×1×4=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面平行的判定和幾何體的體積計(jì)算，尋找直線(xiàn)平行與垂直的關(guān)系是解題關(guān)鍵．