Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，且對(duì)任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）設(shè)c_n=（a_n+1-a_n） q^n-1（q≠0，n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用賦值法求出數(shù)列中的各個(gè)項(xiàng)．
（2）首先求出新構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用分裂討論的方法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）由題意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20
（2）由已知：令m=1，可得
a_n=

a2n-1+a1

2

-(n-1)2．
令m=2，可得
a_n+1=

a2n-1+a3

2

-(2-n)2．
那么a_n+1-a_n=

a3-a1

2

+（n-1）²-（2-n）²

=

6-0

2

+2n-3
=2n                       
于是c_n=2nq^n-1．
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=2+4+6+…+2n=n（n+1）
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=2•q⁰+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n-1．
兩邊同乘以q，可得
qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．
上述兩式相減得
（1-q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n-1）-2nqⁿ
=2•

1-qn

1-q

-2nqⁿ
=2•

1-(n+1)qn+nqn+1

1-q

所以S_n=2•

nqn+1-(n+1)qn+1

(q-1)2

                 

綜上所述，S_n=

n(n+1) (q=1) 2• nqn+1-(n+1)qn+1 (q-1)2 (q≠1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列中的各個(gè)項(xiàng)，根據(jù)構(gòu)造的新數(shù)列，利用分類法求數(shù)列的和，屬于中等題型．