Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（π-x）=f（x），且當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，f（x）=xsinx-cosx，則（　�。�

• A、f（2）＜f（3）＜f（4）
• B、f（3）＜f（4）＜f（2）
• C、f（4）＜f（3）＜f（2）
• D、f（4）＜f（2）＜f（3）

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式判斷出函數(shù)是偶函數(shù)，進一步根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的對稱性確定本題的結(jié)果．

解答： 解：f（x）=xsinx-cosx，
所以：f（-x）=（-x）sin（-x）-cos（-x）=xsinx-cosx=f（x）
得到函數(shù)為偶函數(shù)．
當x∈（0，

π

2

）時，f′（x）=xcosx+2sinx＞0，
函數(shù)f（x）在（0，

π

2

）上是增函數(shù)．
當x∈(-

π

2

，0)時，f′（x）=xcosx+2sinx＜0，
函數(shù)f（x）在（-

π

2

，0）上是減函數(shù)．
由函數(shù)y=f（x）滿足f（π-x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=

π

2

對稱．
所以：函數(shù)在x∈(

π

2

，π)上是減函數(shù)，函數(shù)在x∈(π，

3π

2

)上是增函數(shù)．
f（

π

2

）＞f（2）＞f（4）＞f（3）＞f（π）
故：f（2）＞f（4）＞f（3）
故選：B

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的應(yīng)用，三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．屬于中等題型．